式中，N为液滴数目：D为单个液滴的直径，单位为μm：U为单个液滴的速度，单位为m/s：U为液滴的平均速度，单位为m/s：D32为液滴的索特（Sauter）平均直径，单位为μm：Г为Г函数。
　　将式（1）对液滴速度U积分，则可得到液滴尺寸数目分布的微分形式 

　　将式（1）对液滴直径D积分，可以得到液滴速度数目分布函数的微分形式

　　要解式（1）至式（3），必须先求得雾化液滴的索特平均直径D32和平均速度

　　对于压力喷嘴，采用Lefebvre提出的经验公式计算索特平均直径D32和平均速度

　　，该公式给出了压力喷嘴喷雾的D32和

　　与喷嘴结构参数、喷射压力和流量及燃料和空气物性参数之间的关系，

　　式中，σ为燃料表面张力，单位为N/m：μL为燃料动力黏度，单位为Pa·s：ρA为空气密度，单位为kg/m3：ρL为燃料密度，单位为kg/m3：ΔpL为燃料喷射压力与环境气体压力的压力差：θ为喷雾锥角，单位为（°）：d0为喷孔直径，单位为mm：M为燃料质量流量，单位为g/s：t可以由下式给出，

　　式中，FN为流量系数，定义为

　　式（4）中常量A，B的计算采用Semiao等人根据试验结果对Letebvre公式修订的关系式[9]，

　　二、理论计算结果及分析理论
　　计算的目的是对柴油和LPG质量掺混比为30％（记为L30）混合燃料的喷雾品质进行对比研究。由于燃用L40的发动机热机起动困难，因此，所用混合燃料的最大掺混比定为30％。应用最大熵原理和质量、动量守恒定律得到雾化燃料液滴尺寸和速度联合数目分布函数，在PowerStation平台上编制Fortran程序进行理论计算，比较雾化的品质。计算的模型为ZH1105W柴油机，PF68S19喷油器，4孔喷嘴，孔径为0.32mm，喷射压力为18.9MPa，为了与试验数据进行比较，背压取101.325kPa。查热工手册，空气密度为1.205kg/m3，柴油和LPG的计算参数见表1。

　　（一）柴油液滴尺寸和速度数目分布
　　将柴油和空气的参数代入式（4）至式（9），得D32=21μm， =3.6m/s。将该计算结果及柴油和空气的计算参数值代入式（1），得到柴油液滴尺寸和速度联合分布

　　图1是柴油液滴尺寸和速度联合分布的三维图。从图中可以看出，燃料液滴分布曲线的峰值约为0.013，位于D=20μm，U=2.6m/s处。图2所示为U分别取1.6m/s，2.6m/s，3.6m/s和4.6m/s，由式（10）得到的柴油液滴尺寸数目分布。

　　从图中可以看出，具有相同直径的液滴可具有不同的速度，具有相同速度的液滴的直径也可不同：小颗粒和大颗粒液滴数目均较少，D=20μm左右的中等直径的液滴数目较多：随着液体喷射速度的增大，液滴尺寸数目分布曲线向小颗粒偏移：尺寸分布的峰值先增大，当U=2.6m/s时到达最大值后逐渐减小。说明在U=2.6m/s的喷射速度下，液滴尺寸分布最集中。图3所示为D分别取10μm，15μm，20μm和30μm，由式（10）得到的柴油液滴速度数目分布。从图中可以看出，除D=10μm的曲线外，低速和高速液滴的数目均较少，D=20μm的中速运动的液滴数目较多：随着液滴尺寸的增大，速度分布的峰值先增大，当D=20μm时到达最大值后明显减小。说明在D=20μm的液滴速度分布最集中。

　　经计算，直径为20μm，速度为2.6m/s的液滴所占百分比为1.2573％。当液滴直径小于10μm时，液滴速度数目分布曲线平缓，高速液滴的数目相对较多，且液滴速度范围明显较大。
　　（二）LPG/柴油混合燃料液滴尺寸和速度数目分布
　　由于LPG与柴油是互不相溶的，因而不能用简单的方法计算混合燃料的动力黏度和表面张力。计算L30的尺寸/速度联合分布的方法是，先计算混合燃料中柴油液滴的尺寸和速度联合数目分布，再计算LPG液滴的尺寸和速度联合数目分布，将二者按混合燃料的质量比叠加就得到L30的尺寸和速度联合数目分布。LPG液滴尺寸和速度联合数目分布的计算与柴油的计算相同，在确定L30的表面张力数值时，依据LPG中丙烷的质量含量不得低于60％的国家规定，丙烷的质量含量按60％计算。

　　图4是L30液滴尺寸和速度联合分布的三维图。从图中可以看出，燃料液滴分布曲线的峰值大约为0.005，位于D=20μm，U=6m/s处。与柴油相比，L30液滴分布曲线的峰值明显降低，说明喷雾液滴的尺寸和速度分布更加均匀，这主要是因为L30燃料溶入了LPG，一出喷嘴压力骤降，LPG减压快速汽化，即闪急沸腾，在燃料液束中产生微爆，生成大量气团，使液滴尺寸减小，尺寸分布均匀。
　　图5所示为U分别取2m/s，4m/s，6m/s和8m/s，得到的L30液滴尺寸数目分布。从图中可以看出，D=20μm左右的中等直径的液滴数目较多：随着液体喷射速度的增大，液滴尺寸数目分布曲线向小颗粒偏移：尺寸数目分布的峰值先增大，当U=6m/s时到达最大值后逐渐减小。说明在U=6m/s的喷射速度下液滴尺寸分布最集中。图6所示为D分别取10μm，20μm和30μm，得到的L30液滴速度数目分布。从图中可以看出，随着液滴尺寸的增大，速度数目分布的峰值先增大，当D=20μm时到达最大值后明显减小。说明D=20μm的液滴速度分布最集中。经计算，直径为20μm，速度为6m/s的液滴所占百分比为0.5193％。与柴油喷雾的情况相同，当液滴直径小于10μm时，液滴速度数目分布曲线平缓，高速液滴的数目相对较多，且液滴速度范围明显较大。L30速度数目分布曲线的峰值速度比柴油明显增大，这可能是因为LPG/柴油混合燃料的闪急沸腾喷雾对燃料液滴具有突爆的加速作用。

　　（三）柴油与LPG/柴油累积液滴尺寸和速度数目分布的比较

　　将D32和U的计算结果及柴油、LPG和空气的计算参数值代入式（2）至式（3），可以分别得到全部速度范围内的柴油和LPG液滴尺寸数目分布和速度数目分布，或称为累积液滴尺寸数目分布和累积液滴速度数目分布，将二者按混合燃料的质量比叠加就可得到全部速度范围内的L30液滴尺寸数目分布和速度数目分布。图7所示为全部速度范围内柴油与L30的液滴尺寸数目分布对比。从图中可以看出，L30尺寸数目分布曲线峰值相对于柴油向小颗粒方向偏移：柴油直径为16μm的液滴数目占液滴总数百分比最大，为18.3％，L30直径为13μm的液滴占液滴总数百分比最大，为21.6％。L30尺寸数目分布的峰值大于柴油的峰值，说明由于LPG的闪急沸腾效应，L30喷雾所产生的小颗粒液滴多于柴油，雾化品质提高，碳烟排放大幅度降低[5]。图8所示为全部尺寸范围内柴油与L30的液滴速度数目分布对比。从图中可以看出，在喷雾液滴的全部尺寸范围内，柴油和L30的速度数目分布曲线非常接近，曲线的峰值位于3m/s左右：随着速度的增大，数目分布先急剧增大后缓慢减小，中小速度的液滴数目较多，比较集中，高速液滴数目较小但分布范围较大。
　　L30速度分布曲线的峰值比柴油略小一些，且略微向大速度方向偏移，说明与柴油相比，L30燃料较大速度液滴的数目略有增加。
　　（四）蒸发和碰撞对液滴尺寸数目分布的影响
　　在实际的喷雾中，液滴的蒸发和碰撞是不可避免的。蒸发将使喷雾产生的大颗粒液滴变小，小颗粒液滴成为气体。部分燃油液滴相互碰撞，会黏合成为较大的颗粒。距喷嘴越远，液滴发生碰撞的机会越多，大颗粒液滴的分布数目越多。随着时间推移，小颗粒的液滴蒸发为气体，部分液滴相互碰撞生成大颗粒，将造成液滴数目的减少，平均直径的变动以及液滴尺寸重新分布。
　　蒸发和碰撞影响的计算采用作者的理论计算公式

　　式中，Kc为碰撞系数，它与喷射时间内的碰撞次数和液滴贯穿时间的乘积有关：Kv是在无燃烧情况下雾化液滴的蒸发系数，它由燃料的性质以及燃烧室与周围环境的温差决定：d是油滴初始直径，其范围从0到最大直径：τ为喷雾射流的贯穿时间。
　　图9至图12为将式（11）代入式（2）后得到的理论计算液滴尺寸数目分布与试验结果的对比。试验在ZH1105W柴油机的PF68S19喷油器上进行，采用闪光摄影成像技术。由于喷嘴附近的燃料密度太高，即使在常温常压下也无法得到清晰的离散粒子图像，采用小体积的定容弹就更为不可能，因此选择在常温常压下拍摄距喷嘴出口距离H=40cm和H=60cm处的燃料液滴。事实上，对于以改进喷嘴结构和提高雾化品质为目的的研究，喷雾品质的比较研究更具实际意义。

　　图9和图10为柴油液滴尺寸数目分布的理论计算与试验结果比较。从图中可以看出，理论计算结果与试验结果接近。两者的数目分布曲线变化趋势是一致的，数值差别不大。在H=40cm处，试验结果的峰值位于D=35μm处，理论计算的峰值位于D=41μm处：在H=60cm处，理论计算与试验所得的峰值相同，均位于41μm处，说明理论计算的结果是可靠的。将图9和图10与图7进行比较，加入蒸发和碰撞影响后，液滴尺寸分布曲线均略向大颗粒方向偏移。

　　图11和图12为L30液滴尺寸数目分布的理论计算与试验结果比较。从图中可以看出，两者的数目分布曲线变化趋势是一致的，但数值差别较大。

　　两图的试验结果的峰值均位于D=17μm处，而理论计算的峰值位于D=35μm处。由于式（11）中的蒸发系数是由燃烧室与周围环境的温差决定的，常温常压下该温差Δt=0，则蒸发系数Kv=0，即忽略了常温常压下蒸发对液滴直径的影响，而LPG在常温常压下也会发生闪急沸腾现象，使液滴颗粒变小或完全蒸发。因此，液滴碰撞的单独影响将使LPG液滴尺寸数目分布曲线向大颗粒方向偏移。说明对于液体燃料，式（11）是可行的：但对于液化气体燃料与石油液体燃料掺混后的混合燃料，式（11）中的蒸发系数计算还有待于进一步修正。将图11和图12与图9和图10进行比较，可以看出L30液滴明显小于柴油液滴，证明混合燃料喷雾的闪急沸腾效应能够明显改善雾化性能，减少碳烟排放。
　　三、结论
　　以ZH1105W柴油机为模型，采用Jaynes等人提出的雾化液滴尺寸和速度联合数目分布函数，编制计算程序，对柴油喷雾和LPG/柴油混合喷雾的燃料液滴尺寸和速度数目分布进行了理论对比研究：采用作者的液滴蒸发和碰撞模型，编制计算程序，对液滴尺寸理论数目分布与试验结果进行了对比研究。
　　雾化液滴尺寸和速度联合数目分布的研究表明，L30喷雾液滴的尺寸和速度联合数目分布曲线的峰值（0.005）小于柴油液滴曲线的峰值（0.013），中等直径的液滴数目分布较多：随着液体喷射速度的增大，液滴尺寸数目分布曲线向小颗粒偏移。大于10μm的液滴中等速度数目分布较多：随着尺寸的增大，液滴速度数目分布曲线的峰值先明显增大，到达中等尺寸后又明显减小。当液滴直径小于10μm时，液滴速度数目分布曲线平缓，高速液滴的数目相对较多，且液滴速度范围较大。L30速度数目分布曲线的峰值速度（6m/s）比柴油的（2.6m/s）明显增大，这可能是因为LPG/柴油混合燃料的闪急沸腾喷雾对燃料液滴具有突爆的加速作用。
　　累积液滴尺寸数目分布和累积液滴速度数目分布的研究表明，L30尺寸数目分布曲线峰值相对于柴油向小颗粒方向偏移，L30的峰值大于柴油的峰值。说明由于LPG的闪急沸腾效应，L30喷雾所产生的小颗粒液滴多于柴油，雾化品质提高，碳烟排放大幅度降低。在喷雾液滴的全部尺寸范围内，柴油与L30的速度数目分布曲线非常接近，L30速度数目分布曲线的峰值比柴油略小一些，且略微向大速度方向偏移，与柴油相比，L30燃料较大速度液滴的数目略有增加。
　　考虑蒸发和碰撞对液滴尺寸数目分布影响的研究表明，对于液体燃料，采用参考文献的喷雾液滴蒸发公式是可行的，作者的蒸发和碰撞修正模型也是可行的，但对于液化气体燃料与石油液体燃料掺混后的混合燃料，蒸发系数计算公式还有待于进一步修正，或改用其他公式进行计算。