1运动学及力学分析
　　
　　本文所研究的典型封闭行星齿轮传动系统1封闭行星齿轮传动系统如1所示，它由两排行星齿轮系组成，其中两个太阳轮s1、s2刚性连接，作为系统的输入构件；第一排的齿圈r1与箱体刚性连接，作为固定构件；第一排的转臂c1与第二排的齿圈r2刚性连接，两者具有相同的转速；第二排的转臂c2作为输出构件；输入功率在s1、s2处分流输入，在转臂c2处汇流输出。本文假定：各排所包含的行星轮p1、p2参数相同，每个行星轮传递相同的载荷；另外，忽略轴向载荷及轴承对系统可靠性的影响。
　　
　　用ij（i分别为s、p、r、c；j=1，2）表示系统构件，kj为各排行星轮的个数，Tin、ns表示输入转矩、转速，Tij、nij表示各构件转矩、转速，Pin为输入功率，P为支路1传递功率，P为支路2传递功率，、为功率分配系数；Rij表示各个构件的半径（齿轮为其节圆半径）。若忽略功率损失，则有以下关系式成立：Pin=P P =1ns1=ns2=nsP=Ts1ns1=TinnsP=Ts2ns2=Tinns各构件间的几何关系可表示为Rrj=Rsj 2RpjRcj=Rsj Rpj
　　
　　2行星轮受力分析如2所示，太阳轮和齿圈作用在行星轮节圆处的切向力为Fsj，t1=Frj，t2=Tsj/（kjRpj）。
　　
　　由于交变载荷和固定载荷作用下的应力变化当量循环次数决定着构件的寿命，故在构件疲劳寿命分析时，必须进行行星齿轮运动学分析，确定各个构件相对转臂的转速，即确定应力循环次数。根据文献[4，5]，行星齿轮运动学的普遍转速方程（采用本文符号）为nsj RpjRsjnpj-（1 RpjRsj）ncj=0nrj-RrjRpjnpj-（1-RrjRpj）ncj=0（1）根据式（1）求得的所示的封闭行星齿轮传动系统各构件及其相对转臂的转速见1.
　　
　　1所示封闭行星齿轮传动系统的运动学参量ni1ni1-nc1s1nsRr1Rs1 Rr1nsp1Rs1（Rp1-Rr1）Rp1（Rs1 Rr1）ns-Rr1Rs1Rp1（Rs1 Rr1）nsr10-Rs1Rs1 Rr1nsc1Rs1Rs1 Rr1ns0ni2ni2-nc2s2nsRr1Rr2（Rs1 Rr1）（Rs2 Rr2）nsp2Rs1Rp2（Rs2 Rr2） Rs2Rr1（Rp2-Rr2）Rp2（Rs1 Rr1）（Rs2 Rr2）ns-Rr1Rs2Rr2Rp2（Rs1 Rr1）（Rs2 Rr2）nsr2Rs1Rs1 Rr1ns-Rs2Rr1（Rs1 Rr1）（Rs2 Rr2）nsc2Rs1Rs2 Rs1Rr2 Rs2Rr1（Rs1 Rr1）（Rs2 Rr2）ns0功率分配系数表达式为=Rs1Rr2Rs1Rs2 Rs2Rr1 Rs1Rr2
　　
　　2传动系统各构件的可靠度模型
　　
　　在两齿接触过程中的某一瞬时，在齿面上的特定区域分别受到拉力、压力、剪切力的作用，当齿轮运转时，齿上各点的应力在不断地发生周期性变化，一定循环次数后，由于疲劳作用，在表面或次表面产生微裂纹，润滑(滑润体系轮转式油机泵的维护保养)油进入裂纹后产生高压，使裂纹长大并连接起来，并向齿面深层扩展，减弱轮齿强度，导致轮齿疲劳折断。然而，上述裂纹的扩展过程很难在发生前记录下来，而且在破坏开始时非常剧烈，危险性很大。因此，本文只考虑点蚀疲劳引起的系统失效。
　　
　　2.1太阳轮的可靠度模型
　　
　　很多学者对直齿轮的接触疲劳寿命进行了大量研究，研究表明，齿轮的点蚀疲劳寿命的可靠度与应力循环次数满足以下关系：
　　
　　lnR（t）=ln0.90（ll10）s（2）
　　
　　式中，R（t）为单个轮齿的可靠度；l为施加于齿面上的应力循环次数；l10为齿面失效概率为10时的应力循环次数；s为齿轮的威布尔指数。
　　
　　当齿轮的可靠度为090时，单个轮齿载荷与寿命的关系为
　　
　　l10=（Cs/Fs）sCs=Bf/
　　
　　（3）
　　
　　式中，Fs为轮齿所受的切向力；s为直齿轮的威布尔疲劳寿命系数（一般取值为43）；Cs为直齿轮的额定动载荷；f为有效齿宽；为节点处的曲率；B为常数，对于钢制齿轮，B一般取135MPa.
　　
　　设l表示通常状况下一对外啮合齿轮副轮齿的应力循环次数，以太阳轮的百万转数为单位，本文将其定义为寿命；L表示行星传动中齿轮相对转臂的应力循环次数，以太阳轮的百万转数为单位，本文将其定义为当量寿命。由于太阳轮同时与k个行星轮啮合，故太阳轮的每个轮齿承受kLs次应力循环。根据可知ls1=k1Ls1Rr1Rs1 Rr1ls2=k2Ls2Rr1Rr2（Rs1 Rr1）（Rs2 Rr2）（4）根据可靠度的乘积定律，设单个轮齿的可靠度为R（t），则有zs1、zs2个齿的太阳轮s1、s2的可靠度为Rs1（t）=（R（t））zs1Rs2（t）=（R（t））zs2（5）
　　
　　由式（2）、式（4）和式（5）可得太阳轮的可靠度表达式为lnRs1（t）=zs1ln0.90[Rr1k1Ls1（Rs1 Rr1）ls1，10]slnRs2（t）=zs2ln0.90[k2Ls2Rr1Rr2（Rs1 Rr1）（Rs2 Rr2）ls2，10]s（6）式中，Lsj为太阳轮sj可靠度为R（t）时的当量寿命，即该太阳轮转动百万转的次数；lsj，10为太阳轮可靠度为090时单个轮齿的寿命，即百万次应力循环的次数。
　　
　　当失效概率为010时，当量寿命Lsj，10为Ls1，10=Rs1 Rr1k1Rr1（1zs1）1sls1，10Ls2，10=（Rs1 Rr1）（Rs2 Rr2）k2Rr1Rr2（1zs2）1sls2，10（7）将单个齿的负载寿命表达式式（3）代入式（7），得单个齿的负载为Fsj=Tsj/（kjRsj）。当Lsj，10=10时，令Tsj=Dsj，则太阳轮sj的当量动载荷Dsj为Ds1=k1Rs1Cs1（1zs1）1ss（Rs1 Rr1k1Rr1）1sDs2=k2Rs2Cs2（1zs2）1ss[（Rs1 Rr1）（Rs2 Rr2）k2Rr1Rr2]1s（8）当太阳轮的可靠度为090时，太阳轮载荷与寿命的关系为Ls1，10=（Ds1Tin）s，Ls2，10=（Ds2Tin）s，太阳轮的可靠度为lnRs1（t）=ln0.90（Ls1Ls1，10）slnRs2（t）=ln0.90（Ls2Ls2，10）s（9）根据太阳轮可靠度模型的推导过程，可得到齿圈及行星轮的当量动载荷表达式和可靠度模型。
　　
　　2.2齿圈的可靠度模型
　　
　　齿圈的当量动载荷Drj为Dr1=k1Rr1Cr1（1zr1）1ss（Rs1 Rr1k1Rs1）1sDr2=k2Rs2Cr2（1zr2）1ss[（Rs1 Rr1）（Rs2 Rr2）k2Rs2Rr1]1s式中，Cr1、Cr2表示齿圈r1、r2的额定动载荷。
　　
　　齿圈载荷与寿命的关系为Lr1，10=（Dr1Tin）sLr2，10=（Dr2Tin）s齿圈的可靠度为lnRr1（t）=ln0.90（Lr1Lr1，10）slnRr2（t）=ln0.90（Lr2Lr2，10）s（10）
　　
　　2.3行星轮的可靠度
　　
　　行星轮的当量动载荷Dpj为Dp1=[Rp1（Rs1 Rr1）Rs1Rr1]1sk1Rs1Cs1Cr1{zp1[（Cs1）ss （Cr1）ss]}1ssDp2=[Rp2（Rs1 Rr1）（Rs2 Rr2）Rr1Rs2Rr2]1sk2Rs2Cs2Cr2{zp2[（Cs2）ss （Cr2）ss]}1ss行星轮载荷与寿命的关系为Lp1，10=（Dp1Tin）sLp2，10=（Dp2Tin）s行星轮的可靠度为lnRp1（t）=ln0.90（Lp1Lp1，10）slnRp2（t）=ln0.90（Lp2Lp2，10）s（11）
　　
　　3系统的可靠度
　　
　　整个封闭行星齿轮传动系统的可靠度由太阳轮、行星轮和齿圈的可靠度组成，各个构件的可靠度服从乘积定律，系统的可靠度为R（t）=Rk1p1（t）Rs1（t）Rr1（t）Rk2p2（t）Rs2（t）Rr2（t）（12）
　　
　　将式（9）式（11）代入式（12），可得系统的可靠度为lnR（t）=ln0.90[（Ls1，eLs1，10）s k1（Lp1，eLp1，10）s （Lr1，eLr1，10）s （Ls2，eLs2，10）s k2（Lp2，eLp2，10）s （Lr2，eLr2，10）s]（13）式中，s为齿轮的威布尔指数，s=25；e为失效概率。
　　
　　4实例及图解分析
　　
　　以应用于某电动工具中的封闭行星齿轮传动系统（传动结构如1所示）为例，分析负载、有效齿宽变化和功率分配系数等因素对系统及其构件可靠度的影响。实例中钢制齿轮模数为07mm，理论齿宽75mm，节圆压力角20？；第一排和第二排的行星轮个数均为4，输入转矩Tin=20Nm.
　　
　　为了实现传动比为2的传动和满足尺寸约束，本文提出了5种设计方案，各方案的齿轮齿数及其相应的额定动载荷如2所示。各个方案中构件的当量动载荷和当量寿命计算结果见3.
　　
　　2某电动工具封闭行星齿轮传动系统齿数选择方案及各个构件的额定动载荷zs1zp1zr1zs2zp2zr2Cs1（N）Cr1（N）Cs2（N）Cr2
　　
　　3各个方案中构件的当量动载荷（Nm）和当量寿命（106转）Ds1Dp1Dr1Ds2Dp2Dr2Ls1，10Lp1，10Lr1，10Ls2，10Lp2，10L
　　
　　以运行当量寿命为横坐标，可靠度为纵坐标，根据式（13）、式（9）绘出系统及太阳轮的可靠度分布曲线图，。由可以看出，随着功率分配系数的增大，传动系统的可靠度呈下降趋势，结合可以看出，的增大使太阳轮s2的可靠度急剧下降，从而导致整个系统的可靠度下降。从可以清楚地看出，尽管功率分配系数相同，但方案4和方案5所组成的系统可靠度相差很大，因此，在封闭行星齿轮传动系统设计中合理地配置齿数非常关键。从可以看出，随着负载的增大，系统的可靠度急剧降低，说明电动工具的过载和堵转会加剧齿轮磨损、恶化传动性能以及急剧地降低其使用寿命。构件的变形及安装误差将引起载荷沿齿宽方向不均衡分布，从可以看出，随着有效齿宽的减小，系统的可靠度呈下降趋势。从可以看出，功率分配系数对太阳轮s1可靠度的影响无一定的规律，太阳轮s1的可靠度主要受其齿数的影响。
　　
　　5结论
　　
　　本文对封闭行星齿轮传动进行了运动学及力学分析，并结合可靠性设计和Savage提出的单级行星齿轮传动的可靠度模型，建立了典型的封闭行星齿轮传动系统的可靠度模型；结合实例，绘出了系统及其构件可靠度与运行当量寿命的威布尔分布曲线，研究了功率分配系数、负载、有效齿宽等因素对系统及其构件可靠度的影响。研究结果表明，在满足其他约束条件的情况下，系统可靠度随功率分配系数、负载的增大而减小，说明频繁的过载和堵转会恶化电动工具的传动性能并急剧地降低其使用寿命；另外，系统可靠度随着有效齿宽的减小而减小。本研究结果可为封闭行星齿轮传动系统的可靠性优化设计提供指导。